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L'infini

Les problèmes liés à l'"infini" ont intrigué dès l'Antiquité ; ils concernent (liste non exhaustive): l'infiniment grand et l'infiniment petit, le borné, les limites, les types de grandeurs d'infini, les propriétés "choquantes" des nombres infinis (par exemple infini.gif (851 octets) +1 = infini.gif (851 octets) ).

Détaillons quelques exemples :

1) Achille et la tortue : la distance initiale est (par exemple) de 1 mètre . Comment Achille peut-il rattraper la tortue, puisqu'il devra successivement se rapprocher à la distance de 1/2, 1/4, 1/8 … mètre, qui est une séquence infinie. Ce "paradoxe" connu des anciens peut être poussé à l'extrême pour prouver que tout mouvement est impossible ! Sa résolution (relativement récente !) nécessite les notions de limite et de série : bien que la séquence 1/2, 1/4, 1/8 … possède en effet une infinité de termes, la série 1/2 + 1/4 + 1/8 + … qui peut servir à mesurer le temps nécessaire (simplifions la situation en considérant le cas d'une tortue immobile) converge vers une valeur finie : 1.

Pour montrer cela de manière précise, il faut tout un formalisme et un bagage sérieux de notions dont ne disposaient pas les Anciens.

2) L'hôtel infini : considérons un hôtel contenant une infinité de chambres numérotées 1,2,3,… Supposons l'hôtel bondé, c'est-à-dire que chaque chambre soit occupée. Arrive un nouveau client. Que faire ? Solution : on installe le nouveau client dans la chambre 1, on demande au client de la chambre 1 d'aller dans la chambre 2, celui de la 2 va dans la 3 etc.

Bref, le client de la chambre k va dans la chambre k+1, ce qui libère la chambre 1 pour le nouveau client. On vient donc de réaliser : infini.gif (851 octets) +1 = infini.gif (851 octets) .

3) La partie aussi grande que le tout : ce "paradoxe" est proche du précédent, et cause bien des soucis aux étudiants de première candidature. Exemple : il y a autant de nombres entienrs pairs que de nombres entiers positifs ; il suffit en effet de mettre en correspondance le nombre 2k avec le nombre k pour "voir" que l'ensemble des nombres pairs contient le même nombre d'éléments que l'ensemble des nombres naturels :

0 ~ 0
1 ~ 2
2 ~ 4
3 ~ 6

(faites abstraction des noms des nombres, et vous verrez dans les deux cas un ensemble de type :
[ ·   ·   ·   ·   … ) (cf le paradoxe des ensembles)

Pourtant, 2N est une partie de N, non égale à N !

La solution réside donc dans la distinction que l'on doit établir entre "plus petit vis-à-vis de l'inclusion" (A est nommé plus petit que B si A est inclus mais non égal à B) et "plus petit vis-à-vis du nombre d"'éléments".

4) Il y a une infinité de "types" d'infini : cela résulte d'un théorème de Cantor, disant que l'ensemble P(X) des parties d'un ensemble X est toujours strictement plus grand que C, du point de vue du nombre d'éléments. En particulier, la séquence suivante est strictement croissante de ce point de vue :

N, P(N), P(P(N)), …

et donne des infinis de type différent.

Une illustration particulièrement accessible est la suivante : il y a strictement plus de suites d'éléments 0 et 1 que de nombres entiers (exemple d'une telle suite : 0 0 1 1 1 0 0 1 …) En effet, si tel n'était pas le cas, on pourrait "énumérer" une liste complète de ces suites. Il suffira alors de construire une nouvelle suite par la règle suivante :

Si le nième chiffre de la nième suite est un O, le nième chiffre de la nouvelle suite sera un 1 et vice-versa.

Ainsi construite, cette suite diffère de toutes celles de la liste, contredisant l'hypothèse que la liste est complète.

(en fait, les nombres entiers correspondent, par le biais de l'écriture binaire, aux suites finies dont le premier élément est 1)

Pour en savoir plus

La théorie des ensembles, P.U.F. Que sais-je ?

P. GOCHET et P. GRIBAUMONT, Logique.

G. GODEFROY, L’aventure des nombres. Ed. Odile Jacob 1997.

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Mise à jour: Novembre 2000