Choquant, n'est-il pas ?

Autant le dire tout de suite : cette opération de découpage ne peut être réalisée en pratique. Si c'était possible, il y a longtemps que les chercheurs d'or l'auraient utilisée à leur profit. Il n'est même pas possible de le dessiner. En effet, la frontière entre certains des morceaux est de surface infinie : on a affaire à un découpage fractal.

Mais bon, on a prouvé que la chose était mathématiquement possible, ce qui jette une ombre difficile à dissiper sur la notion traditionnelle de volume, notion que tout un chacun utilise couramment.

La démonstration de ce fait extraordinaire repose toutefois sur un axiome de la théorie des ensembles, appelé axiome du choix , qui affirme, pour simplifier les choses, que si on vous donne une infinité d'ensembles, vous pouvez définir une règle unique pour sélectionner un élément dans chacun d'entre eux. Axiome qui n'est guère intuitif. Alors, pourquoi ne pas imaginer qu'il soit le principal responsable ?

Le hic est que, en se privant de l'axiome du choix -et on a prouvé que ce n'est nullement nécessaire pour construire une théorie des ensembles cohérente- on se prive de nombreuses autres démonstrations, qui ont abouti, elles, à des résultats primordiaux.

face à cela , il y a plusieurs attitudes possibles :

1) On admet une théorie des ensembles sans axiome du choix, et une avec, et on travaille parfois avec l'une et parfois avec l'autre. Mais alors on crée deux mathématiques différentes, et les résultats de l'une ne peuvent être impunément transposés dans l'autre.

2) On admet l'axiome du choix, et le paradoxe HBT subsiste. Comme il ne gêne ni le reste des mathématiques, ni leurs applications pratiques, on ne s'en accommode pas trop mal. Cette position pragmatique est celle de la majorité des mathématiciens.

3) On considère qu'une telle construction, dès lors qu'elle ne peut être réalisée, est nulle et non avenue : les mathématiques étant l'art de construire des objets et de les étudier, une construction aussi artificielle et qui crée des objets que l'on ne peut comprendre sort du cadre des mathématiques pour entrer dans celui de l'exercice de style abstrait.

Soit deux personnes (disons, Arthur et Betty) qui se mettent d'accord sur le vocabulaire pouvant être employé en parlant de mathématiques, sur le sens des mots. Arthur utilise ensuite ce vocabulaire pour définir des nombres naturels et les faire identifier à Betty.

Évidemment, il suffit de nommer les nombres, mais certains nombres peuvent être définis en beaucoup moins de lettres que leur nom n'en comporte.

Par exemple, "un million quarante huit mille cinq cent septante six" comprend 44 lettres (et 46 en France), mais peut être énoncé comme "deux à la puissance vingt" (21 lettres).

Ou bien, "huit mille cent cinq billions huit cent milliards sept cent quatre vingt neuf millions neuf cent dix mille sept cent neuf" (101 lettres) est avantageusement remplacé par "l'entier le plus proche de pi puissance trente-deux" (42 lettres).

L'éventail de lettres disponibles pour nos compères étant fini, seul un nombre fini d'entiers peuvent être décrits en un nombre fini, donné, de lettres (par exemple, avec trois lettres, on ne dispose guère que de "un", "six" et "dix").

L'ensemble des nombres qui ne peuvent être décrits en moins de n lettres est non vide, et est un sous-ensemble de celui des naturels ; il possède donc un plus petit élément (avec 3 lettres, c'est "deux").

Supposons maintenant que Arthur utilise la description suivante :

"le plus petit nombre que je ne puis te communiquer en moins de cent lettres"

Ce nombre existe, de par l'argument ci-dessus ; Betty peut même le retrouver, même si la procédure est complexe : produire toutes les phrases de moins de 100 mots avec le vocabulaire défini, éliminer celles qui sont syntaxiquement incorrectes ou qui ne parlent pas d'un nombre, lister les nombres définis par les phrases, les trier, trouver le premier non mentionné.

Le problème est que la phrase ci-dessus "fait" 61 lettres. En d'autres termes, le nombre en question peut être défini en moins de cent lettres, ce qui crée bien entendu une contradiction.

A-t-on fait quelque chose de dangereux dans ce raisonnement ? Non, selon moi, et la seule explication plausible serait que le langage "naturel" est mal adapté à la définition d'objets mathématiques et aux raisonnements. Mais, vu que l'on est obligé de l'utiliser, c'est nier toute l'activité mathématique.

Considérons l'ensemble des adjectifs qualificatifs de la langue française (toute autre langue conviendra aussi, bien sûr). Il apparaît qu'une minorité d'entre eux jouit d'une propriété particulière : ils possèdent la qualité qu'ils décrivent : bref, polysyllabique, français sont dans ce cas. mais long, monosyllabique, anglais ne l'ont pas.

Bien entendu, comme toute qualité ne peut être appliquée de manière sensée à un adjectif (pensez aux adjectifs de couleur), il y aura des cas ne pouvant être tranchés. Pour parler logique, on ne peut attribuer de valeur de vérité à la proposition "l'adjectif X possède la propriété X".

De même, certains cas peuvent être considérés comme "limites". Recherché est-il du vocabulaire recherché ?

Convenons d'appeler autologiques les rares élus dont on peut dire sans ambiguïté qu'ils se désignent eux-mêmes. Appelons de même hétérologiques tous les autres : ne se désignant clairement pas, cas limites et situations où l'adjectif n'est pas applicable à lui-même.

Nous avons donc défini deux nouveaux … adjectifs (qui, anecdotiquement, figurent dans certains dictionnaires ; difficile de leur dénier une identité).

Même si la classification peut dépendre d'une personne à l'autre (mettons, un cas que certains considèrent comme ambigu, d'autres pas), une telle classification est faisable une fois pour toute, et moyennant le tiers-exclu, tout adjectif sera dit autologique ou hétérologique.

Reste à classer ces deux-là. Où classez-vous hétérologique ?

S'il est hétérologique, il possède la propriété qu'il définit, et est donc autologique. Et réciproquement. Aïe !

Remarquez que l'on ne peut prétendre que le problème provient d'une classification mal fagotée : en rangeant a priori les cas douteux dans une des classes (ce qu'on ne peut en général pas faire des objets mathématiques), on s'est assuré de pouvoir utiliser avec efficacité le tiers-exclu.

… A moins que celui-ci ne soit précisément à remettre en question ? Faut-il traiter tous ce que disent les mots de la langue naturelle avec les outils de la logique floue ? Voilà qui mettrait en l'aire une quantité impressionnante de résultats mathématiques.

remarquez le mot antinomie, qui représente une prise de position ; il signifie en effet à peu près contradiction, et l'utiliser revient donc à admettre l'existence du paradoxe. Ce que, vous le verrez ci-dessous, n'est nullement nécessaire. Et quand on fait de la logique, moins on subit de paradoxes, mieux on se porte.

Il y a toutes sortes de catalogues (au sens large ; le produit de la consultation d'une base de donnée peut raisonnablement être considéré comme catalogues. La plupart d'entre eux ne se mentionnent pas. Mais quelques-uns devraient se mentionner ; par exemple, su l'imprimeur Machin produit une brochure reprenant sans exception toutes les publications de Machin, une des lignes devrait être "brochure reprenant les publications de Machin".

Classons donc les catalogues en deux catégories, bien inégales certes : celle des catalogues qui se mentionnent eux-mêmes et celle des catalogues qui ne se mentionnent pas.

Qu'est-ce qui nous empêcherait de faire alors un catalogue de tous les catalogues qui ne se mentionnent pas ? (et d'eux seuls)

Reste à voir maintenant s'il se mentionne lui-même. C'est très simple : supposons qu'il ne se mentionne pas; Alors, en vertu de la règle qui a conduit à son édification, il doit se mentionner. Ca ne marche donc pas.

Donc c'est qu'il se mentionne. Comme il ne mentionne que ceux qui ne se mentionnent pas, ils ne se mentionne donc pas. Aïe !

Comment se sortir du cercle vicieux ? On peut bien entendu interdire à un catalogue de se mentionner lui-même, mais ce serait dangereux. Plus raisonnable semble la suggestion qu'il n'est tout simplement pas possible de créer un catalogue ayant très précisément la qualité susdite, à savoir : mentionner tous les catalogues qui ne se mentionnent pas, et eux seuls. Car la personne qui le rédigerait ne serait pas capable de décider si son propre titre doit y figurer : qu'elle décide dans un sens ou dans l'autre, le catalogue extraordinaire créé ne répondra pas à la condition de création.

On a en quelque sorte démontré par l'absurde qu'un tel catalogue ne peut exister.

Il en est de même du célèbre paradoxe du barbier : considérons une petite ville dont l'unique barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux mêmes, et seulement ceux-là, condition somme toute logique. Se rase-t-il lui-même ? Comme ci-dessus, s'il se rase, il ne se rase pas, de par la règle de discrimination définie ; et s'il ne se rase pas, il doit, de par la condition, se raser.

La solution est la même que ci-dessus : la condition crée une contradiction, on a prouvé qu'un barbier répondant à cette condition ne peut exister.

Remarquons la solution humoristique de M. Gardner : "non, elle ne se rase pas".

Il suffit évidemment de remplacer hommes par humains pour que cette "solution" ne fonctionne plus.

Alors, quel est votre choix ? Pas compliqué me direz-vous ... que l'on ouvre les deux boîtes ou juste la boîte B, l'Être Supérieur l'aura très certainement prévu et donc il est préférable d'opter pour la seconde solution. C'est un point de vue intéressant mais en voilà un autre: l'Être Supérieur a déjà effectué sa prédiction, la boîte B est soit vide soit remplie d'un million de francs et cela ne changera plus. Il est par conséquent préférable d'ouvrir les deux boîtes car, dans les deux cas, la somme gagnée sera de 10.000 francs supérieure à celle remportée en n'ouvrant que la boîte B.

Le paradoxe réside en ce que chacune des solutions proposées peut se voir justifiée d'une façon parfaitement rationnelle et convaincante. Il renvoie face à face les partisans d'un déterminisme radical (le futur est entièrement déterminé) optant pour l'ouverture de la boîte B et les partisans du libre arbitre optant pour l'ouverture des boîtes A et B.

Classiquement, l'analyse du paradoxe de Newcomb fait appel à la théorie des jeux: ce serait le conflit entre deux principes de base de cette théorie qui est à l'œuvre ici. Le principe de l'utilité attendue soutient que, face à plusieurs choix valables, un individu fera le choix susceptible de lui apporter le maximum d'utilité espérée, ici la plus grosse somme d'argent. Prendre la boîte B constitue donc le choix le plus rationnel. Suivant le principe de dominance, si nous supposons le monde divisé en états (ici, chacune des colonnes de la matrice des gains) et si vous avez avantage à réaliser l'action n°1 plutôt que l'action n°2 dans au moins un état alors, même si les choix sont indifférents dans les autres états, vous avez encore tout intérêt à choisir l'action n°1 qui domine les autres. Prendre les deux boîtes constitue donc le choix le plus rationnel. Cette situation contradictoire demeure tant que la probabilité que l'Être Supérieur prédise la vérité est supérieure à 50%.

Nous constatons que, dans ce cas, les deux meilleures solutions dépendent de l'état de nature qui prévaut. Pour cette raison, aucun des choix ne prédomine et c'est uniquement le principe d'utilité attendue qui est applicable ici. Par conséquent, tant que la probabilité d'une prédiction exacte reste supérieure à 50%, la boîte B constituera le meilleur choix à faire ... le conflit disparaît!

 V.G.

 La résolution ci-dessus admet l'existence d'un tel Être Supérieur. Pour moi, qui suis un farouche défenseur du libre-arbitre, la solution est autre : un être capable de prédire ce que je ferai ne peut exister. Bien entendu, si vous êtes fin psychologue, vous pouvez prévoir comment je déciderai, mais une fois que votre prédiction est arrêtée, j'ai le droit de tenter de déjouer votre prédiction, et c'est à mon avantage. Éliminez l'Être Supérieur, vous éliminez le paradoxe.

Mais tout entier positif possède un carré et, de ce fait, il y a autant de carrés que d'entiers naturels:

1    2    3    4     5    6    7    8     9    10    11    .....
1   4   9   16   25   36   49    64   81   100   121 .....

"Le tout est toujours égal à la somme de ses parties" et "Le tout est toujours plus grand que n'importe laquelle de ses parties". Il en déduisit que, si les relations "inférieur à", "égal à" et "supérieur à" peuvent légitimement s'appliquer aux ensembles finis, il n'en est rien lorsque nous travaillons sur des ensembles infinis et donc, nous ne pouvons pas comparer les tailles respectives de tels ensembles.

Toutefois, G. Cantor va proposer vers 1870 un critère de comparaison des infinis: si nous pouvons apparier les objets de deux ensembles infinis de manière telle que chaque objet d'une collection infinie corresponde à un objet de l'autre collection, et qu'aucun objet ne reste dans aucun des deux ensembles, les deux infinis sont dits équipotents.

Considérons l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des nombres rationnels (ces derniers peuvent s'écrire sous la forme d'un quotient de deux nombres entiers premiers entre eux). Intuitivement nous pensons qu'il existe plus de rationnels que d'entiers, puisqu'il suffit de voir qu'entre deux nombres entiers quelconques nous pouvons construire une infinité de ces rationnels. Mais qu'arrive-t-il lorsque nous appliquons le critère de comparaison de Cantor ?

Nous obtenons ainsi des sous-ensembles de plus en plus longs mais toujours finis et, pour résultat final, la suite infinie de toutes les fractions existantes, bien que non rangées par ordre croissant. Dès lors, il devient possible d'établir une correspondance terme à terme entre les éléments de cette suite et ceux de l'ensemble des nombres entiers naturels.

En conclusion, ces deux ensembles infinis sont de taille identique ou de même puissance. Leur cardinal, c'est-à-dire le nombre d'éléments d'un ensemble, est désigné par "aleph zéro" et correspond à la puissance du dénombrable le cardinal de tout ensemble équipotent à celui des entiers.

Une conséquence étonnante de ce qui précède est que, dans le monde de l'infini, la partie peut être égale au tout

Soient
N l'ensemble des entiers naturels { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... }
P l'ensemble des entiers naturels pairs { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, ... }
I l'ensemble des entiers naturels impairs { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, ... }

cardinal de N = cardinal de P = cardinal de I = aleph zéro

     N = P + I   =>   car N = car P + car I    =>   Aleph zéro = Aleph zéro + Aleph zéro ! !
     P = N - I   =>   car P = car N - car I    =>   Aleph zéro = Aleph zéro - Aleph zéro ! !

Cantor va ensuite s’attaquer à l’ensemble des nombres irrationnels (ceux-ci ne peuvent s'écrire sous la forme du rapport entre deux entiers) et démontrer qu’il existe plus d’irrationnels que d’entiers naturels. Nous ne pourrons donc jamais énumérer la totalité des irrationnels; certains infinis sont dénombrables tandis que d’autres ne le sont pas.