logo150noir.gif (2653 bytes)


Quelques théorèmes mathématiques
affirmant l’existence d’un objet mathématique ...
et leur application à des situations de la vie courante.

Théorème du plan séparateur.

Étant donné trois volumes simplement connexes (sans trous) dans l’espace euclidien, il existe un plan qui partage chacun de ces trois volumes en deux parties égales. C’est en fait le plan passant par les centres de gravité de ces trois solides.

Application : étant donné un sandwich dont les trois éléments sont mal superposés, il est possible de le couper en deux de manière équitable d’un seul coup de couteau.

Évidemment, si les trois centres de gravité des trois éléments sont alignés sur une même verticale, toute découpe verticale passant par cette droite convient (c’est le cas classique).

Pour ces raisons, le théorème est parfois appelé théorème du sandwich au jambon.

Théorème de la "boule chevelue".

Tous champ de vecteurs dérivable à la surface d’une sphère possède au moins un point singulier.

Application : à tout instant, il existe au moins un point de la terre où il n’y a pas de vent, ou bien où le vent est vertical.

Théorème du point fixe de Brouwer.

Toute application continue d’un morceau de plan simplement connexe (d’un seul tenant et sans trous) sur lui-même ou sur une partie de lui-même possède au moins un point fixe.

Application : soit une feuille de papier de forme quelconque, déposée à plat. Chiffonnons une feuille identique, sans la déchirer, et posons-la sur la première, sans que rien ne dépasse. Il existe au moins un point de la feuille chiffonnée qui est à l’aplomb du point correspondant de l’autre feuille. Ceci marcherait encore avec des feuilles de caoutchouc, en se donnant le droit de les étirer ou de les contracter.

Théorème des accroissements finis.

Etant donné une fonction f(x) continûment dérivable entre deux valeurs données de x, (soit a et b) il existe au moins un point où la tangente au graphe de f est parallèle à la droite qui joint f(a) à f(b).

Application : étant donné un chemin parcouru à une vitesse moyenne v, il existe un endroit où la vitesse instantanée est égale à v. (en supposant que la vitesse ne varie pas par à-coups, ce qui est le cas en l’absence de collision).

Théorème de Rolle.

Cas particulier du précédent.

Étant donné une fonction f(x) telle que f(a) = f(b), continûment dérivable entre a et b, il existe au moins un point où la tangente au graphe de f est horizontale.

Application : toute promenade en montagne, partant et arrivant à la même altitude (et en particulier toute promenade revenant au point de départ) comprend un point où l’on ne monte ni ne descend.

Théorème de la variation continue.

Toute fonction définie et continue entre a et b inclus prend au moins une fois entre a et b chacune des valeurs comprises entre son maximum et son minimum.

Application : si l’on part un jour de A à 8 heures et on arrive à B à 10 heures, et si le lendemain on part de B à 8 heures pour arriver en A à 10 heures, par le même chemin, il existe un endroit où l’on passe les deux jours à la même heure, et ce même si l’on change d’allure, s’arrête, voire recule.

Pour s’en convaincre, il suffit de tracer simultanément avec les deux mains les deux trajets.

Retour aux applications concrètes domestiques des mathématiques


Université Libre de Bruxelles

MATsch - gdemeur @ ulb.ac.be (sans les espaces)

Mise à jour: Novembre 2000