ULB - MATsch - Un siècle de découvertes mathématiques

Un siècle de découvertes mathématiques

Axiomatique, théorie du raisonnement
Structures diverses
Théorie des groupes
Topologie
Algèbre et Arithmétique
Algorithmique
Géométrie, Algèbre Linéaire
Statistiques et Probabilités
Analyse
Mécanique
Applications

Axiomatique, théorie du raisonnement

1895	Cantor	Montre que l’ensemble de tous les ensembles ne peut exister (par une contradiction dans le calcul de son cardinal).
1897	Burali-Forti	Par un paradoxe, montre qu’on ne peut définir en toute liberté des ensembles d’ensembles.
1899	Hilbert	Axiomatique complète de la géométrie plane et spatiale, sans référence à la notion « commune » de points et droites. Montre que les axiomes de la géométrie euclidienne sont exempts de contradiction.
1902	Russell	Crise des fondements de la mathématique : une approche naïve des ensembles infinis et de la notion de définition fait apparaître des contradictions ; on est obligé de prévoir plusieurs niveaux de langage mathématique (un pour parler des maths, un pour parler de celui qui parle des maths etc.), et de refuser le nom d’ensemble à des collections trop vastes. Crée avec Whitehead un système logique (théorie des types) pour obvier à ces contradictions.
1903	Hilbert	Montre que les axiomes de certaines géométries non euclidiennes (Lobatchevskyi)sont exempts de contradictions.
1905	Richard	Par un paradoxe, fait apparaître que toutes les méthodes de classement des objets mathématiques ne sont pas nécessairement bonnes.
1908	Zermelo puis von Neumann, Bernays ...	Axiomatique de la théorie des ensembles.
1910	Zermelo	Enonce l’axiome du choix : étant donné une infinité d’ensembles, il existe un moyen systématique de sélectionner un élément dans chacun d’eux ; cet axiome semble raisonnable et est admis par la majorité des mathématiciens, mais peut conduire à des paradoxes.
1913	Brouwer ...	Intuitionnisme : refuse l’axiomatique de la théorie des ensembles, l’induction infinie, le tiers-exclu. But : faire des mathématiques plus proches de l’intuition commune.
1920	Lukasiewicz - Skolem ...	Théorie des modèles : méthodes pour fabriquer une structure répondant à des axiomes donnés.
1924	Tarski	Prouve que l’axiome du choix est équivalent à la proposi-tion : « pour tout a infini, a² = a ».
v.1928	Lukasiewicz	Principes de la logique floue : admet des énoncés vrais, faux et partiellement vrais ; très utilisée aujourd’hui en informatique et en robotique (Zadeh 1965).
1929	Gödel	Métathéorème de la complétude : le système logique mis au point par Russell (v. 1902) peut prouver toute formule vraie de la logique classique.

1931	Gödel	Théorèmes d’incomplétude : une théorie suffisamment forte pour faire de la théorie des nombres (nombres premiers etc.) ne peut prouver elle-même qu’elle est correcte. Il faut donc différents niveaux de pensée. Gentzen (1936) prouve que la démonstration est possible « de l’extérieur ».
1934	Skolem	Arithmétique non standard, cohérente avec les axiomes de Peano ; permet de faire de l’arithmétique avec des entiers infinis.
1934	Zassenhaus	Le « théorème des 4 ensembles », première démonstration utilisant des diagrammes de Venn.
1935	Dieudonné - Chevalley - Weyl ...	Création du groupe Nicolas Bourbaki, qui tente de faire de la mathématique un tout cohérent par l’usage systématique de la méthode axiomatique.
1938	Gödel	L’hypothèse du continu (il n’y a pas de nombre entre À ₀et C) est cohérente avec les autres axiomes de la théorie des ensembles ; l’axiome du choix (voir 1910) aussi.
1961	Robinson - Luxemburg	Analyse non standard : variante de l’analyse admettant l’existence de nombres infiniment petits. Permet parfois des démonstrations plus aisées que l’analyse standard (avec limites et e).
1963	Cohen	La négation de l’hypothèse du continu (il y a des nombres entre À ₀et C ) est cohérente avec la théorie des ensembles ; voir aussi 1938 ; on ne pourra donc jamais démontrer si l’hypothèse du continu est vraie ou fausse.
1967	Bishop	Prouve que la théorie des ensembles « à la Cantor » est correcte en en construisant un modèle.

Structures diverses

1901	Wilson - Gibbs	Axiomatique des vecteurs ; analyse vectorielle (étude de fonctions dont les variables et les valeurs sont des vecteurs).
1905	Wedderburn	Théorème : dans un corps dont le nombre d’éléments est fini, la multiplication est commutative. La démonstration fait appel à des sujets aussi variés que : vectoriels, classes latérales, combinatoire, divisibilité, polynômes à inconnues dans C, plan de Gauss. (un corps est un ensemble muni d’une addition qui en fait un groupe commutatif, ainsi que d’une multiplication qui en fait un groupe, et qui distribue l’addition ; si la multiplication est aussi commutative, on parle de champ ; le théorème se réénonce donc : tout corps fini est un champ)
1908	Hensel	Théorie des corps p-adiques ; des ensembles de nombres munis d’une distance aux propriétés inattendues.
1910	Steinitz	Axiomatique de l’algèbre ; son cadre naturel est la théorie des corps (v. 1905 pour la définition).
1914	Fréchet	Axiomatique des espaces abstraits, cadre de la topologie, et des espaces métriques, càd. avec une loi de distance.
1920	Weyl	Axiomatique des espaces affins (géométrie avec parallélisme mais sans mesures).
1934	Löwig	Toutes les bases d’un vectoriel ont le même cardinal.
1939	groupe Bourbaki	Définit la mathématique comme l’étude des ensembles munis d’une structure. En profite pour éditer une oeuvre (encore incomplète!) étudiant systématiquement les structures.
1941	Albert	Théorie des opérations non associatives.
1941	Gel’fand	Théorie des algèbres normées, ou vectoriels munis d’une opération de multiplication interne et d’une distance. Utilisée en mécanique quantique.
1942	Eilenberg - McLane	Théorie des catégories : donne une place centrale aux notions de loi de composition et de morphisme.
1990	Mori	Progrès importants dans la classification topologique des surfaces de dimension 3.

Théorie des groupes

1898	Weber	Première axiomatique des groupes.
1902	Huntington	Axiomes « classiques » des groupes.
1906	Burnside	Conjecture que tout groupe simple (càd. n’ayant pas de sous-groupe invariant) non cyclique est de cardinal pair. Les groupes simples jouent pour les groupes le même rôle que les nombres premiers.
1938	Frucht	Tout groupe fini est isomorphe au groupe formé des automorphismes d’un certain graphe (isomorphismes du graphe avec lui-même), avec la loi usuelle de composition.
1947	Markov - Post	Il n’existe pas d’algorithme permettant de déterminer de manière systématique si deux produits des générateurs d’un groupe représentent le même élément du groupe.
1957	Chevalley - Steinberg Suzuki - Ri	Théorie des groupes simples ; construction utilisant les ressources de la topologie, de l’algèbre des champs finis, du calcul vectoriel, de la théorie des isomorphismes.
1959	Navikov	Construit un groupe infini dont tous les éléments sont d’ordre fini.
1963	Feit - Thompson	Démontrent la conjecture de Burnside (voir 1906).
1972	Gorenstein	Etablit un programme pour la classification des groupes simples. Ce programme sera achevé en 1980 (voir cette date) par Aschbacher, Gorenstein, Fischer etc.
1980	Griess - Fischer	Construisent un groupe simple de cardinal énorme, le « monstre », groupe de rotations d’un espace vectoriel de dimension 19683. Ceci achève la classification des groupes simples.
1983	Thurston	Utilise les groupes d’isométries conservant des figures de papiers peints pour faire avancer la classification des surfaces de dimension 3.

Topologie

1902	Boy	Découvre une surface pour laquelle le nombre de Poincaré est 1. Elle se recoupe.
1910	Tietze	Le nombre chromatique de la surface de Möbius est 6. (le nombre chromatique est le nombre de couleurs nécessaires pour colorier une carte sur la surface en question; la surface de Möbius est un ruban dont on a collé les extrémités après l’avoir tordu à 180°).
1912	Brouwer	Théorème du point fixe : si l’on prend une feuille de papier déposée à plat, si on la froisse et si on dépose la boule sur l’ancien emplacement de la feuille, un des points de la feuille au moins se trouvera à la verticale de son ancien emplacement. Ce théorème implique qu’il est impossible de « coiffer » une sphère couverte de cheveux sans créer de pli ou d’épi ... et qu’à tout moment, il existe un point de la terre où il n’y a pas de vent.
1920	Redemeister	Notion d’isomorphisme de noeuds ; début des tentatives de classification.
1926	Alexander - Briggs	Décomposition des noeuds en « noeuds premiers ». La « multiplication » est ici le fait de faire deux noeuds l’un après l’autre.
1928	Alexander	Attribue à chaque noeud un polynôme, la multiplication des noeuds étant isomorphe à celle des polynômes. Ceci permet une classification des noeuds, mais assez grossière ; elle sera améliorée par Jones en 1984.
1930 ?	Hopf	Montre que l’impossibilité de « coiffer » une sphère (v. 1912) est liée au fait que son nombre de Poincaré est 2.
1933	Leray - Schauder	Equivalent du théorème du point fixe dans un vectoriel de dimension infinie ; aide à trouver les solutions de certaines équations différentielles.
1968	Ringel - Youngs	Lien entre le nombre chromatique d’une surface (voir 1910) et son nombre de Poincaré : à 3 exceptions près (sphère, plan, surface de Klein), le nombre chromatique est la plus grande solution de l’équation x² - 7x + 6l = 0 (arrondie à l’entier inférieur), où l est le nombre de Poincaré (conjecture énoncée par Heawood en 1890).
1976	Haken - Appel	Toute carte sur un plan ou une sphère peut être coloriée avec 4 couleurs seulement (dém. par ordinateur).

Algèbre et Arithmétique

1903	Cole	Le nombre 2^⁶⁷ - 1 n’est pas premier (on croyait auparavant que, si x est premier, 2^{^x} - 1 l’est aussi).
1909	Carmichael	Il y a une infinité de nombres pseudo-premiers absolus. On sait que si a est premier, alors a^{^x}- a est un multiple de n, et ce pour tout n. Un nombre pseudo-premier absolu est un nombre qui satisfait cette condition, sans toutefois être premier. Le plus petit est 561.
1923	Mordell	L’équation a^² = x^³ + k n’a qu’un nombre fini de solutions entières (couples a -x) si k est un nombre fixé > 0.
1929	Gel’fond	est transcendant (voir 1930).
1930	Champernowne	Le nombre 0,12345678910111213... est transcendant (n’est pas la solution d’une équation à coefficients entiers).
1932	Ingham	Si x est assez grand, il existe un nombre premier entre x^³ et (x+1)^³ .
1934	Gel’fond - Schneider	Si a est un nombre rationnel positif autre que 0 et 1, et si b est transcendant (voir 1930), alors a^{^b} est transcendant.
1937	Vinogradov	Tout nombre pair assez grand est la somme de 2 premiers ; tout nombre impair assez grand, de 3. Réponse partielle à la conjecture de Goldbach (1742), qui affirme qu’ils le sont tous.
1949	Selberg - Erdös	(démonstration plus simple que celle de Hadamard et de la Vallée-Poussin en 1895, qui utilisait des fonctions sur C). p (x) désigne le nombre de premiers < x.
1950	Shapiro	Démonstration « élémentaire » que toute progression arithmétique contient une infinité de nombres premiers (1ère démonstration : Dirichlet en 1837, par l’analyse).
1952	Robinson	Première preuve par ordinateur d’un résultat mathématique : 2^⁵²¹-1 est premier.
1957	Berger	Il existe une infinité de nombres pairs m tels que a^{^m}-a soit multiple de m (le premier avait été découvert par Lehmer en 1950).
1959	Bose - Parker - Shrikande	A part pour n = 2 et n = 6, il existe un carré gréco-latin d’ordre n (avec l’aide d’un ordinateur). Un carré gréco-latin d’ordre n est un tableau n ´ n, dans chaque case duquel on note deux symboles, l’un pris dans une liste de n, l’autre pris dans une autre liste de n, de manière qu’aucune ligne ni colonne ne contienne deux fois le même symbole (en pratique, 2 carrés latins superposés).
1966	Baker	Il n’existe qu’un nombre fini de familles de nombres x,y,m,n tels que x^{^m}-y^ⁿ=1. (conjecture de Catalan : le seul cas est 3^²-2^³=1).
1970	Matijasevitch - Jones	Expression d’un polynôme à 26 variables qui prend pour valeurs tous les nombres premiers, et eux seuls, lorsque les variables parcourent N.
1977	Larson	Démontre que « tout nombre premier qui est supérieur de 1 à un multiple de 4, est décomposable d’une et une seule manière en somme de 2 carrés », en passant par la résolution d’un problème ... d’échecs !
1980	Cohen - Lenstra	Test par ordinateur pour vérifier si un nombre est premier (nécessite à l’époque quelques secondes pour un nombre de 100 chiffres).
1988	Elkies - Fries	Il existe une infinité de solutions entières de l’équation x^⁴+y^⁴+z^⁴=t^⁴. La plus petite est : x = 95800 , y = 217519, z = 414560, t = 422481 (trouvée par ordinateur).
1990	frères Chudnovsky	Calcul de 2 milliards de décimales de p .
1995	Wiles	Démontre la conjecture de Fermat (1637) : quel que soit n supérieur à 2, il n’existe pas d’entiers non nuls x, y, z tels que x^ⁿ+y^ⁿ=z^ⁿ.

Algorithmique (algorithme : méthode systématique de résolution d'un problème)

1934	Church	Fait dériver tous les raisonnements que l’on peut demander à une machine de quelques opérations élémentaires. Ce qui laisse la voie libre à Turing (1936, 1er)
1936	Turing	« Machine de Turing », machine automatique pouvant traiter tous les algorithmes si on lui donne assez de mémoire et de temps. Revient à démontrer que tous les ordinateurs sont isomorphes.
1936	Turing	Il existe des problèmes pour lesquels on ne pourra pas trouver d’algorithme (en effet, le cardinal de l’ensemble des problèmes est supérieur à celui de l’ensemble des algorithmes). Conséquence : il n’existe aucun algorithme pour tester la véracité des énoncés mathématiques.
1943	Turing	Colossus, première machine logique électronique (ordinateur).
1958		Algol : premier langage informatique adapté à la résolution de problèmes mathématiques.
1960	Rabin - Hartmanis	Enoncé d’un problème admettant des algorithmes, mais aucun algorithme « efficace » (càd. qui reste assez rapide lorsque les données prennent de l’ampleur)
1970	Cook	Classification des problèmes selon le degré de rapidité des algorithmes que l’on peut leur appliquer.
1970	Merkle - Diffie - Hellman puis Rivest - Shamir - Adelman	Cryptographie à clef révélée, étude de codes avec lesquels on peut coder facilement en disposant d’une clef, mais pas décoder, si l’on ne dispose pas d’une deuxième clef. Utilise des propriétés des nombres premiers.
1976	Conway	Jeu de la Vie, modélisant l’évolution d’une population de microbes dans une boîte. Conway a démontré qu’il existe un isomorphisme entre les parties de Jeu de la Vie et les énoncés logiques, de telle manière qu’à une population qui survit éternellement correspond une proposition vraie, et vice versa.
1985	Deutsch	Imagine des ordinateurs « quantiques », ne donnant pas toujours la solution à un problème, mais hyper-rapides lorsqu’ils en donnent une.

Géométrie, Algèbre Linéaire

1896	Peano	Courbe continue recouvrant la surface d’un carré.
1900	von Koch	Courbe de longueur infinie entourant une surface finie : le «flocon de von Koch», une des premières fractales (v.1975).
1935	Whitney	Matroïdes, généralisation des espaces vectoriels. Permet de définir des notions telles que : indépendance linéaire, bases, etc., sans utiliser de coordonnées.
1939	Sprague	Première décomposition d’un carré de taille entière en carrés plus petits, de tailles toutes différentes et entières, sans recouvrements.
1961	Richardson	Généralisation de la notion de dimension à des dimensions non entières ; par exemple la côte d’un pays ; la dimension devient une mesure de la régularité.
1965	Leech	Empilement particulier de sphères (ou ce qui en tient lieu) dans un vectoriel de dimension 24. Chaque sphère en touche 196560 autres. Le groupe des isomorphismes qui conservent l’empilement en échangeant les sphères joue un rôle important dans la théorie des groupes simples. Application : permet de créer un code dont les mots ont 24 bits (0 ou 1) et tel que deux mots différents aient au moins 7 bits différents (code correcteur d’erreurs).
1966	Berger	Il n’y a pas d’algorithme pour savoir si un polygone ou autre objet peut recouvrir le plan sans trous ni chevauchements. Lié à l’existence de pavages irréguliers (v. 1984).
1968	Scott	Publie 367 démonstrations différentes du théorème de Pythagore.
1975	Mandelbrot	Fractales : objets dont la structure est la même à quelque échelle qu’on les regarde. Une fractale a une dimension (v. 1961) non entière. Les attracteurs étranges (v. Analyse, 1971) en sont un cas particulier. Les fractales fournissent une bonne modélisation des montagnes, de la surface interne des poumons, des côtes et frontières ...
1977	Szilassi	Découvre un polyèdre à 21 sommets et 7 faces, tel que deux faces quelconques se touchent. Il n’a donc pas de diago-nales ; et il faut donc 7 couleurs pour le colorier. Il a la forme d’un tore et non d’une sphère.
1978	Duijvestijn	La plus petite décomposition possible d’un carré (v. 1939) est celle d’un carré de taille 112 en 21 carrés.
1984	Penrose- Shechtman- Kramer - Neri ...	Quasi-cristaux : réseaux ayant les propriétés de régularité à grande échelle des cristaux, mais pas leur arrangement microscopique.
1988	Lam - Swiercz - Thiel - McKay	Il n’existe pas de plan projectif d’ordre 10, c’est-à-dire de configuration de 111 points, regroupés en 111 droites de 11 points, deux droites se coupant toujours, et deux points étant toujours sur une droite. La démonstration, longue et informatisée, pose le problème de la validité des démonstrations invérifiables. NB : il existe des plans projectifs de tous les ordres égaux à une puissance de nombre premier. Si l’ordre est k, il y a k²+k+1 points, autant de droites, et k+1 point par droite.

Statistiques et Probabilités

1900	Borel	Loi forte des grands nombres : si un même événement de nature quantitative (une variable aléatoire) est mesuré plusieurs fois, la moyenne des observations tendra vers la moyenne des valeurs possibles de la variable (par exemple, après un grand nombre de parties de « pile ou face » avec une pièce non truquée, on obtiendra presque exactement 50 % de chaque résultat).
1925 1930 ...	Fisher - Neuman - Pearson - Wald	Théorie des estimateurs : sur base d’observations statistiques partielles, donner une description aussi fiable que possible de valeurs numériques relatives à un grand ensemble d’éléments (comment réaliser un sondage « représentatif » sur un nombre limité de personnes).
1933	Kolmogorov	Axiomatique du calcul des probabilités, considéré comme un cas particulier d’intégrale (voir analyse : 1898).
1938	Benford	Montre que les nombres utilisés dans les sciences exactes et humaines ont plus souvent 1 que 9 comme premier chiffre. A « deviné » le théorème en constatant que les premières pages des tables de logarithmes sont plus sales que les dernières !
1942	Metropolis - Ulam	Méthode « de Monte Carlo » pour le calcul d’intégrales compliquées : on effectue le calcul sur un nombre fini mais grand de points définis aléatoirement.
1947	Dantzig	Algorithme du simplexe, pour la résolution de problèmes d’optimisation sous une série de contraintes (comment maximiser la quantité de produits vendue compte tenu de limitations de matières premières, de main-d’oeuvre, d’espace pour les machines ...)
1950	Blyth - Lehmann - Hodges	Montrent que la moyenne des valeurs observées est la meilleure approximation de la vraie valeur (le meilleur estimateur, voir 1930) lorsqu’on considère une seule série de données.
1961	James - Stein	Montrent que la moyenne des observations n’est pas le meilleur estimateur de la vraie valeur lorsqu’on considère un ensemble de données en parallèle et proches l’une de l’autre (ici, les performances d’une série d’athlètes).
1965	Chaitin - Kolmogorov	Définissent une suite de nombres aléatoire comme une suite qui ne peut être décrite en résumé.

Analyse

1898 1902	Borel Lebesgue	Théorie de la mesure : cadre général pour le théorie des intégrales ; permet des calculs beaucoup plus variés que la théorie « classique ».
1903	Hadamard	Synthèse des idées sur l’équation de propagation des ondes, une équation différentielle très étudiée.
1903	Fredholm	Théorie des équations intégrales , càd. des équations qui font intervenir simultanément comme inconnues une fonction et son intégrale.
1909	Riesz - Fréchet	Théorie des espaces de fonctions : espaces vectoriels de dimension infinie munis d’un produit scalaire ; but : résoudre des équations intégrales (voir 1903).
1914	Polya	Classification des fonctions de R dans R, telles que l’image de tout entier positif soit un rationnel. A part les polynômes, toutes ces fonctions croissent très vite (les exponentielles sont celles qui croissent le moins vite).
1936	Sobolev	Présente une riche famille d’espaces de fonctions (v. 1909).
1945	Schwartz	Théorie des distributions. Les distributions sont des applications linéaires d’un espace de fonctions vers R ou vers C. Utilité en physique quantique.
1966	Carleson	Montre la cohérence de la théorie de Fourier (XIXè), qui décompose les fonctions en combinaison linéaire de fonctions sinus et cosinus.
1971	Ruelle - Takens	Attracteurs étranges : ensembles de points d’un espace vers lesquels les valeurs d’une fonction convergent, mais de manière irrégulière. L’informatique permettra de les représenter, avec une certaine esthétique.
1975	Feigenbaum	Découvre que la théorie des attracteurs étranges (voir 1971) est régie par un nombre (appelé depuis « de Faigenbaum ») qui pourrait prendre dans l’analyse une importance considérable. Affaire à suivre ...
1984	de Branges	Une application du plan de Gauss dans lui-même, qui peut être représentée par un développement en somme de puissances, ne peut « étirer » les formes plus que l’application qui envoie z sur z / (1-z)^² ; le coefficient de x^ⁿ dans le développement ne peut être supérieur à n, quel que soit n.

Mécanique

1895	Korteweg - de Vries	Equation différentielle décrivant le mouvement des masses d’eau ; explique les phénomènes de marées intenses, les mascarets (vagues solitaires remontant les fleuves).
1896	Lorentz	Détermine le groupe des transformations qui laissent invariantes les équations de l’électromagnétisme et de la propagation de la lumière (équations de Maxwell).
1905	Einstein	Relativité restreinte : les transformations de Lorentz (voir 1896) ne conservent pas les masses, longueurs, temps. Conséquence : l’espace et le temps cessent d’être des notions absolues.
1908	Minkowski	Espace de dimension 4, muni d’une fonction de distance « originale », cadre naturel pour l’étude de la relativité restreinte et de l’électromagnétisme.
1916	Einstein	Relativité générale : ramène la gravité à une propriété géométrique de l’espace : les corps déforment l’espace autour d’eux comme un poids sur un drap tendu.
1918	Noether	Les lois de la mécanique de Newton peuvent être déduites des propriétés supposées d’homogénéité de l’espace.
1918	Sundmann	Solution du problème des trois corps (mouvement de trois objets soumis à l’attraction gravitationnelle les uns des autres), exacte mais inutilisable : c’est un système de 9 équations différentielles.
1925	de Broglie - Schrödinger - Dirac	Mécanique quantique : description du mouvement des particules atomiques ; utilise des applications linéaires entre espaces de dimension infinie.
1929	Robertson - Tolman	Déterminent la forme la plus générale que peut prendre la loi de distance dans un univers soumis à la gravité.
1934	Leray	Première apparition du chaos (voir 1962) et des attracteurs étranges (voir Analyse, 1971), dans l’étude de l’écoulement tourbillonnaire des fluides.
1950		Achèvement de la mécanique hamiltonienne, qui ramène l’étude des mouvements des corps ponctuels à celle d’une application linéaire (appelée « forme de Hamilton ») dans l’espace vectoriel dual de celui des droites tangentes à une certaine surface dans un espace vectoriel de dimension élevée. C’est aussi compliqué que ça en a l’air!
1962	Kolmogorov - Arnol’d - Moser	Le mouvement des astres dans le système solaire pourrait être chaotique, càd. que de petites variations dans les données numériques (position et vitesse) peuvent conduire à des modifications importantes dans le mouvement ; il est donc difficile de prévoir l’évolution à long terme du système solaire (c’est le même phénomène qui rend la météo imprévisible). Confirme la complexité du problème des trois corps (voir 1909). Ce phénomène a reçu le nom d’ « effet papillon »
1972	Thom	En étudiant les mécanismes de différenciation cellulaire, met au point la théorie des catastrophes : classification des situations où un système peut évoluer de deux manières différentes à partir de la même situation initiale.
1989	Laskar	Le mouvement des astéroïdes est effectivement chaotique (voir 1962). Par contre, le mouvement de la lune empêche celui de la terre de devenir chaotique, et a donc joué un rôle essentiel dans la pérennité de la Vie.

Applications

1900	Bachelier	Application de la théorie des promenades aléatoires (modélisation de la marche d’un ivrogne) à l’évolution des cours en bourse.
1912	Zermelo	Montre que tout jeu opposant deux joueurs, sans intervention du hasard, sans possibilité de bluff, avec un nombre fini de coups possibles (ex. : échecs) possède une stratégie permettant à l’un des deux joueurs de gagner à coup sûr. Ne dit rien quant à la forme de cette stratégie, ni quant au gagnant.
1920	Borel	Théorie mathématique des jeux ; classification des problèmes selon le nombre de joueurs et l’intervention possible d’événements aléatoires (jet de dé p.ex.)
1922	Charlier	Résout le paradoxe d’Olbers (avec tant d’étoiles, pourquoi le ciel est-il noir ?) en imaginant une structure organisée, fractale, de l’univers (voir Géométrie, 1975).
1926	von Neumann	Théorème du minimax : établit l’existence d’une stratégie optimale dans tout jeu opposant deux joueurs. Cette stratégie peut être soumise à des choix aléatoires (pile, je fais ceci, face, je fais cela).
1930	Kraitchik	Utilisation des matrices pour représenter les résultats possible d’un jeu à deux joueurs.
1931	Rado - Doublas	Résolution du problème de Plateau : détermination par le calcul de la surface minimale sous-tendue par une courbe fermée dans l’espace. Il y a une solution empirique facile, qui consiste à plonger la courbe (matérialisée par du fil de fer) dans de l’eau savonneuse et à observer la forme de la bulle ainsi créée.
1935	Volterra - d’Ancona	Dynamique des populations : équations donnant l’évolution de populations animales.
1943	Nash - von Neumann	Applications de la théorie des jeux aux choix de stratégies militaires.
1944	von Neumann - Morgenstern	Applications de la théorie des jeux aux décisions micro-économiques. Intervention de jeux coopératifs (une alliance est possible).
1947	Golay	Premier code rigoureusement déterminé afin de pouvoir repérer des erreurs de transmission (brouillage) et les corriger. Voir Géométrie, 1965.
1948	Shannon	Théorie de l’information : détermination des procédures les plus efficaces pour transmettre un renseignement, et de la quantité d’information transmissible par un canal donné.
1954	Yang - Mills	La théorie des particules élémentaires est régie par des groupes de transformations de particules.
1956	Li - Yang	Contrairement à toute attente, la physique nucléaire est asymétrique (distingue la gauche de la droite).
1961	Hu	Démontre la validité de l’algorithme du chemin critique.
1962	Doob - Meyer	Les fluctuations des cours boursiers suivent une évolution moyenne partiellement prédictible (v. 1900).

1968	Dijkstra	Résolution des blocages dans les centraux téléphoniques et les réseaux d’ordinateurs par l’utilisation de procédures aléatoires.
1973	Baracs	Topologie structurale : théorie de la flexibilité des carcasses.
1981	Rubik	Puzzle à 3 dimensions : un cube étant décomposé en 26 petits cubes aux facettes colorées, reconstituer des faces de couleur uniforme. L’ensemble des mouvements possibles forme un groupe de plusieurs milliards de milliards d’éléments. On connaît un algorithme de résolution qui fait intervenir au maximum 52 mouvements. On sait qu’il existe un algorithme en 20 mouvements au maximum, mais sa recherche est si difficile qu’il a été surnommé « algorithme de Dieu ».

Université Libre de Bruxelles

MATsch - gdemeur @ ulb.ac.be (sans les espaces)

Mise à jour: Novembre 2000