Considérons l’ensemble des nombres de 1 à n. Combien peut-on former de sous-ensembles satisfaisant les conditions suivantes :

a) deux nombres consécutifs ne peuvent se trouver dans un même ensemble ;
b) si (n  - 2) se trouve dans l’ensemble, n  ne s’y trouve pas ;
c) n, n  - 1 ou n  - 2 s’y trouve ?

Appelons P_n le nombre de tels sous-ensembles.

La réponse est simplement : le (n  +1)^ième nombre de Fibonacci F_n.

En effet :

• si n  = 1 : un seul sous-ensemble possible (F₂ = 1)
• si n  = 2 : deux sous-ensembles possibles {1} et{2} (F₃ = 2)
• si n  est plus grand, il y a deux types de sous-ensembles possibles :

1. ceux qui ne contiennent pas n : leur nombre est evidemment égal à P_n-1.
2. ceux qui contiennent n : ils ne peuvent contenir n  - 1 ni n    - 2, mais ils sont en même nombre que P_n-2 (ce sont les mêmes sous-ensembles, avec n  à la place de n  - 2).

Donc, P_n = P_n-1 + P_n-2.

La loi de formation des P est donc exactement celle des F.

La règle (a) exprime que l’enchère-relais est indisponible pour se décrire, puisqu’elle a été prise par le relais ; (b) que quand on fait l’antépénultième enchère disponible, un relais ne sert plus à rien (plus de place pour se décrire) ; (c) que l’on se décrit jusqu’au bout.

Par exemple, il y a 55 (F₁₀) séquences d’enchères à relais disponibles entre 2¨ et 3SA (9 paliers). Il y a donc ... presque toute la place disponible pour décrire les mains régulières (28 différentes existent) en distinguant entre faible et fort, sur une interrogative à 2§ .